Potencial escalar

En física matemática, el potencial escalar, en pocas palabras, describe la situación en la que la diferencia en la energías potenciales de un objeto en dos posiciones diferentes depende sólo de las posiciones, no de la trayectoria tomada por el objeto al viajar de una posición a la otra. Es un campo escalar en el espacio tridimensional: un valor sin dirección (escalar) que depende sólo de su posición. Un ejemplo familiar es energía potencial debida a la gravedad.

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Un potencial escalar es un concepto fundamental en análisis vectorial y física (el adjetivo escalar se omite frecuentemente si no hay peligro de confusión con potencial vectorial). El potencial escalar es un ejemplo de campo escalar. Dado un campo vectorial F, el potencial escalar P se define tal que:

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla P=-\left({\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial P}{\partial y}},{\frac {\partial P}{\partial z}}\right),}$^[1]​

donde ∇P es el gradiente de P y la segunda parte de la ecuación es menos el gradiente para una función del coordenadas cartesianas. x, y, z.^[2]​. En algunos casos, los matemáticos pueden utilizar un signo positivo delante del gradiente para definir el potencial.^[3]​ Debido a esta definición de P en términos del gradiente, la dirección de F en cualquier punto es la dirección de la disminución más pronunciada de P en ese punto, su magnitud es la tasa de esa disminución por unidad de longitud.

Para que F se describa sólo en términos de un potencial escalar, cualquiera de las siguientes afirmaciones equivalentes tiene que ser cierta: ${\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =P(\mathbf {b} )-P(\mathbf {a} ),}$ donde la integración es sobre un Teorema de la curva de Jordan que pasa de la posición 'a a la posición b y P(b) es P evaluado en la posición b.

1. <donde la integral es sobre cualquier trayectoria simple cerrada, también conocida como curva de Jordan.
2. ${\displaystyle {\nabla }\times {\mathbf {F} }=0.}$

La primera de estas condiciones representa el teorema fundamental del gradiente y es cierta para cualquier campo vectorial que sea gradiente de una diferenciable. monovaluada campo escalar P. La segunda condición es un requisito de F para que pueda expresarse como el gradiente de una función escalar. La tercera condición re-expresa la segunda condición en términos del rotacional de F usando el teorema fundamental del rotacional. Un campo vectorial F que satisface estas condiciones se dice que es irrotacional (conservativo).

Los potenciales escalares desempeñan un papel destacado en muchas áreas de la física y la ingeniería. El potencial gravitatorio es el potencial escalar asociado a la gravedad por unidad de masa, es decir, la aceleración debida al campo, en función de la posición. El potencial gravitatorio es la energía potencial gravitatoria por unidad de masa. En electrostática el potencial eléctrico es el potencial escalar asociado al campo eléctrico, es decir, a la fuerza electrostática por unidad de carga. El potencial eléctrico es en este caso la energía potencial electrostática por unidad de carga. En dinámica de fluidos, los campos laminares irrotacionales tienen un potencial escalar sólo en el caso especial en que se trata de un campo laplaciano. Ciertos aspectos de la fuerza nuclear pueden describirse mediante un potencial de Yukawa. El potencial juega un papel destacado en las formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de la mecánica clásica. Además, el potencial escalar es la cantidad fundamental en mecánica cuántica.

No todos los campos vectoriales tienen un potencial escalar. Los que lo tienen se llaman conservativo, que corresponde a la noción de fuerza conservativa en física. Ejemplos de fuerzas no conservativas son las fuerzas de fricción, las fuerzas magnéticas y, en mecánica de fluidos, un solenoidal campo de velocidad. Sin embargo, por el teorema de descomposición de Helmholtz, todos los campos vectoriales pueden describirse en términos de un potencial escalar y su correspondiente potencial vectorial. En electrodinámica, los potenciales electromagnéticos escalar y vectorial se conocen conjuntamente como cuadripotenciales electromagnéticos.

1. ↑ Herbert Goldstein. Mecánica Clásica (2 edición). pp. 3-4. ISBN 978-0-201-02918-5. 
2. ↑ La segunda parte de esta ecuación es sólo válida para coordenadas cartesianas, otros sistemas de coordenadas como coordenadas cilíndricas o esféricas tendrán representaciones más complicadas, derivadas del teorema fundamental del gradiente.
3. ↑ Véase [1] para un ejemplo en el que el potencial se define sin negativo. Otras referencias como Louis Leithold, The Calculus with Analytic Geometry (5 edición), p. 1199 . evitan usar el término potencial cuando se resuelve una función a partir de su gradiente.